徐星晔 宋海燕 王立军
（1． 天津科技大学轻工科学与工程学院，天津 300457
2． 中国轻工业食品包装材料与技术重点实验室，天津 300457）
来源：塑料工业 2022年8月 第50卷 第8期
基于 Hilbert 分形理论设计了一种新型夹芯结构，研究其用于热塑性聚氨酯 ( TPU) 夹芯板的动态缓冲特性。首先建 立 Hilbert 分形结构 TPU 夹芯板的有限元模型并进行动态冲击试验验证，采用 ANSYS Workbench 进行数值模拟，以单位质量能 量吸收 ( SEA m ) 为优化目标，进行响应面优化，并与 “米”字型夹芯结构进行对比分析。结果表明在阶数为 2、层厚为 1 mm时，Hilbert 分形结构单位质量能量吸收最佳，与 “米”字型结构对比，Hilbert 分形结构总能量吸收提升 98%，单位质量能量吸 收提升 26%。可为新型塑料夹芯板结构设计提供一定思路和指导。
分形结构，原指破碎、无规则的碎片，后来用于 描述特殊的几何图形。相比于简单的几何形状， 分形结构具有自相似性、多尺度对称性、结构紧凑等优点，分形结构能够通过递推的方式填满平面， 提升有效结构的数量，更高效地实现力学负荷的转移，有效地抑制全局失效，提升结构的可恢复性。传统的夹芯缓冲材料类似蜂窝，因其结构单一，无法叠加吸能，限制其应用范围。因此，设计一种基 于分 形 理 论 的 夹 芯 缓 冲 结 构 已 成 为 当 前 的 研 究 热点。
1 模型建立和验证
1. 1 希尔伯特曲线 ( Hilbert Curve) 生成原理
Hilbert 曲线有三个特点: 1) 它能够填充整个平 面图像; 2) 它十分曲折，连续但不可导; 3) 它具有自相似性。
根据 Hilbert 分形曲线特点，利用 L ( 林氏) 语 言的字符串重写技术，形成 3 阶 Hilbert 分形曲线。如图 2 所示。
1. 2 试验样品制备与试验方法
本研究采用了 TPU 材料，光固化的 3D 打印方法 ( SLA) 制备分形结构。TPU 材料肖氏硬度 60，由东 莞市科恒手板模型有限公司提供。将室温和湿度设置 为 25 ℃ 和 40%相对湿度。采用的是 Formlabs 公司Form3 光固化桌面 3D 打印机。3D 打印工作主要流 程是由: 1) 模型设置，添加支撑和切片; 2) 参数 设置，设置打印参数; 3) 正式切片，同时检查打印 过程的支撑位; 4) 检查成品，去除所有不必要的支 撑块并清理打印平台。打印温度为 25 ℃，打印层厚 为 0. 1 mm，单层曝光时间为 10 s，曝光强度为 9 mW /cm2。
依照 GB /T 8167—2008将 3D 打印 Hilbert 分 形结构放置在缓冲材料试验机底座的几何中心位置，缓冲材料试验机是由上海标桌科学仪器有限公司提供 的 DY-3 型号。利用改变质量块实现不同质量的动态 冲击试验。在动态冲击过程中，通过传感器的记录数 据，可以得知冲击过程的时间－加速度曲线。
1. 3 有限元模型建立
在 ANSYS Workbench 中，选择显示动力学模 块。输入三维模型，结构尺寸长为 100 mm，宽为100 mm，高为 18 mm。具体由 Hilbert 分形结构、质 量块和支撑板构成，如图 3。质量块和支撑板均设置 为刚 性 体。实 体 单 元 使 用 六 面 体 单 元 映 射 网 格，Hilbert 分形结构单元尺寸为 1. 5 mm，整体网格单元 为 109 600 个。
1. 4 有限元模型验证
在 ANSYS Workbench 中，使用 Yeoh 二阶超弹性体本构模型能够有效地模拟热塑性聚氨酯材料属性，本构模型具体参数 C10 = 1. 223 MPa，C11 = －0. 011 3 MPa，D = 0. 1。在动态冲击试验机试验中， 冲击时间较短，提取传感器中的时间－加速度数据与 有限元数据对比。采用的是质量块 2. 2 kg，高度 10、20、30、40、50 cm 的跌落冲击数据。试验与仿真分析的加速度－时间曲线如图 4 所 示，动态冲击试验峰值加速度的试验与仿真分析误差 在 10%以内。
ANSYS 提取的加速度探针数据与试验数据总体趋势相近。在动态冲击试验中的峰值加速度数据上， 试验与有限元模型关键数值点最大误差在 6. 3%，具体数据如表 1。因此，有限元模型准确性已经得到验证，可用于后续的研究。
1. 5 能量吸收评价指标
为了研究 Hilbert 分形结构的缓冲性能，采用总 能量吸收、单位质量能量吸收的方法进行表征。
总能量吸收 ( EA) ，主要用于评价 Hilbert 分形 结构在压缩过程中吸收能量的能力，可表示为公式
2. 1 Hilbert 分形结构动态冲击特性分析
Hilbert 分形结构的动态冲击结果分为线性阶段平台阶段和密实化阶段。在 ANSYS 有限元软件中， 动态冲击试验如图 5 所示。
图中自上而下对应的是分析步 0. 000 1、0. 001、0. 003 s 状态。每个分形结构单元都经历一个规则的 稳定崩塌，这是理想的能量吸收模式。在冲击过程 中，其轴向变形是从顶端开始进行的，并逐渐扩展到 底部，夹芯层之间相互挤压变形。选取质量块质量为 3 kg，跌落高度为 30 cm，Hilbert 分形结构在动态冲击下的应力－应变曲线，如 图 6 所示。
分析 Hilbert 分形结构的动态冲击试验数据可知， 在承受最大 3. 58 MPa 应力时，结构变形量为 11. 44 mm，产生应变为 0. 57。在应变低于 0. 03 时，为线 性阶段，线性阶段最大应力为 0. 31 MPa; 在应变0. 03 ～ 0. 57 区间为平台阶段，随着冲击过程持续进行，有较长的平台应力可以吸收能量，缓冲性能较 好。同时，应力在规则间隔上未有周期性波动，这一 结果表明 Hilbert 分形结构在变形过程中始终维持稳 定状态，是一种理想的变形状态。
2. 2 阶数对 Hilbert 分形结构动态冲击性能的影响
Hilbert 分形结构阶数不同，其表达形式也不同。本研究主要探讨了在同样单元层厚情况下的 Hilbert分形 2 阶、2. 5 阶、3 阶结构的动态冲击性能，各阶 结构如图 7 所示。
随着阶数的提高，分形结构的吸能效果也有大幅 提高。选取 Hilbert 分形结构单元层厚为 1 mm，在质 量块跌落高度 30 cm，质量 2. 2 kg 时，通过 ANSYS有限元模拟，可以看出，阶数越高，同等应变的情况 下，受到的应力越大，如图 8 所示。
阶数的增加，结构质量也随之增加。阶数上升单位质量能量并没有持续上升，因为随着阶数的增加， 其质量增长更快。以单位质量能量吸收为指标，在单元层厚为 1 mm 的情况下，2 阶结构的单位质量能量吸收值最高，在 2 阶其吸能效果最好。
2. 3 单元层厚对 Hilbert 分形结构动态冲击性能的影响
Hilbert 分形结构的单元层厚在结构承压过程中 扮演了极其重要的角色。通过在 SolidWorks 中对 Hilbert分形结构进行参数化设置，进而形成不同单元层厚的结构。其中，上下面板厚度不变，为 2 mm，中 间所有单元层厚均改为 0. 5、0. 75、1 mm，如图 9 所 示，在阶数上升过程中，层厚超过 1 mm 将无法参数 化成型。
对参数化设计后的 Hilbert 分形结构施加一致的 动态载荷，质量块质量为 2. 2 kg，跌落高度为 30 cm，Hilbert 分形结构为 2 阶，其下表面固定，提取ANSYS 中的位移和等效应变为输出量，手动计算单 位质量能量吸收，其不同单元层厚 Hilbert 分形结构 的应力应变如图 10 所示。
由有限元分析可知，不同单元层厚 Hilbert 分形结构缓冲效果不同，层厚越厚其缓冲效果越好，但随着层厚的增加，单元质量也在增加，以单位质量能量 吸收为指标，可以更好地进行 Hilbert 响应面分析。
2. 4 Hilbert 分形结构优化设计
优化方法可以单个目标进行优化处理，从设定的参数值生成的样本点可得出最佳的设计点进行优化设计。
选取冲击试验中质量块质量 2. 2 kg、跌落高度30 cm 的情况，对于 Hilbert 分形结构，将阶数 ( n) 、单元层厚 ( t) 作为输入参数，最大等效应力、应变 以及质量作为输出参数，选取应变为 0. 5 时计算总能 量吸收。研究得出单位质量能量吸收呈非线性关系。具 体总能量吸收和单位质量能量吸收情况如表 2 所示。
经过响应面求解，系统给出的最优点为阶数 ( n) 为 2，单元层厚 ( t) 为 1 mm，如表 3 突出显示 部分。此时，单位质量能量吸收由最少的 0. 001 00 J/g 上升到 0. 002 89 J/g，上升了 189%，而此时 Hilbert分形结构的受力分布情况基本无变化，证明该优 化在争取最大单位质量能量吸收的情况下进行阶数 ( n) 和单元层厚 ( t) 设计是可行的。
2. 5 与米字型结构进行冲击性能对比
米字型芯层结构是在相邻的竖直的立筋中间添加如同 “米”字结构的构件，这种特殊的夹层结构在聚丙烯夹芯板中常用。本研究将同样采用光固化的 3D 打印方法 ( SLA) 制备米字型夹芯结构，尺寸 设计为 100 mm ×100 mm ×20 mm，以保持与 Hilbert分形结构相同尺寸，如图 11。
在动态冲击过程中，选取质量块跌落高度 30 cm，质量 2. 2 kg 情况下。米字型结构其变形过程如图 12 所示。
米字型受压后变形扭曲，纵向上没有足够的支撑，没有分阶平台效应，抗压缓冲性能主要依靠密实化阶段的材料吸收能量， 研究米字型结构和 Hilbert 分形结构的应力应变曲线，如图 13 所示。在应变 0. 5 的情况下计算总能量吸 收，可 知 总 能 量 吸 收 Hilbert 分 形 结 构 提 升137%，单位质量能量吸收提升 53%，Hilbert 分形结 构的阶梯型吸能效果明显，拥有较大的平台吸能区， 缓冲效果更佳。
1) 通过 L ( 林氏) 语言的字符串重写技术，构建起 Hilbert 分形结构的递推公式。通过利用 Yoah 二 阶超弹性体本构模型，有效进行对于 TPU 的数值模拟，最大误差在 6. 3%，模型较为可靠。
2) 以单位质量能量吸收为指标，优化阶数 ( n) 和单元层厚 ( t) ，在其它参数不变的情况下，当阶数 ( n) 取 2，单元层厚 ( t) 取 1 mm 时，单位质量能 量吸收上升了 189%，优化后吸能效果提升明显。
3) 与常用的米字型夹芯结构进行对比，Hilbert分形结构总能量吸收、单位质量能量吸收均优于米字 型夹芯结构 137% 和 53%，具有较好的市场应用前景，为夹芯结构的设计提供了新的思路，为塑料板材的缓冲性能的应用和开发起到重要作用。
为方便阅读，本文移除了脚注。如有需要，请参阅《塑料工业》2022年8月 第50卷 第8期 END
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